Produit d'une variable aléatoire par un réel, somme d'une variable aléatoire et d'un réel

Définition

Soit  `X`  une variable aléatoire réell e, définie sur un univers  `\Omega` , et  `a`  un réel non nul.
La variable aléatoire  `aX`  est définie par : pour tout  `\omega \in \Omega` ,  `(aX)(\omega)=a\times X(\omega)` .
Ainsi, pour tout réel  `k` , on a  `P(aX=k)=P(X=\frac{k}{a})` .

Exemple  

On considère la variable aléatoire  `X`  dont la loi est résumée dans le tableau ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 1 & 2 & 5\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}\)

On note  \(Y\)  la variable aléatoire définie par  \(Y=3X\) .
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire  \(Y\)  est donc l'ensemble des triples des valeurs prises par la variable aléatoire  \(X\) , c'est-à-dire  \(\{3 ; 6 ; 15\}\) .
On a alors par exemple \(P(Y=15)=P(3X=15)=P(X=5)=\dfrac{1}{6}\) .
La loi de  \(Y\)  peut être résumée dans le tableau ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 3 & 6 & 15\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}\)

 Définition 

Soit  `X`  une variable aléatoire réelle, définie sur un univers  `\Omega` , et  `b`  un réel.
La variable aléatoire  `X+b`  est définie par : pour tout  `\omega \in \Omega` ,  `(X+b)(\omega)=X(\omega)+b` .
Ainsi, pour tout réel  `k` , on a `P(X+b=k)=P(X=k-b)` .

Exemple  

On considère la variable aléatoire  `X`  dont la loi est résumée dans le tableau ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 1 & 2 & 5\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}\)

On note  \(Y\)  la variable aléatoire définie par  \(Y=X+2\) .
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire  \(Y\)  est donc l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire  \(X\)  auxquelles on ajoute 2. Il s'agit donc de l'ensemble  \(\{3;4;7\}\) .
On a alors par exemple \(P(Y=3)=P(X+2=3)=P(X=1)=\dfrac{1}{2}\) .
La loi de  \(Y\)  peut être résumée dans le tableau ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 3 & 4 & 7\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}\)

Exemple

Au casino, une roulette classique comporte 18 cases rouges, 18 cases noires et 1 case verte. Les joueurs peuvent miser sur la couleur rouge ou la couleur noire. Si la bille de la roulette s'arrête sur la case verte, tous les joueurs perdent automatiquement.

Hélène joue à la roulette et mise à chaque fois 2 euros sur la couleur rouge. À chaque partie, sa probabilité de gagner est de  `18/37` . Si elle gagne, elle récupère sa mise et empoche 2 euros supplémentaires.
Hélène joue 5 parties. On appelle  `X`  le nombre de parties gagnées et  `Y`  le gain algébrique d'Hélène après ces 5 parties.
Ainsi,  `X`  suit une loi binomiale de paramètres  `5`  et  `18/37` .
Par ailleurs, au bout des 5 parties, Hélène  aura quoi qu'il arrive payé 10 euros. Son gain sera alors de 4 euros multiplié par le nombre de parties gagnées, qui est donné par   `X` . On peut ainsi établir que  `Y=4X-10` .
Connaissant la loi de  `X` , il est alors possible de déterminer facilement la loi de  `Y` .